Aggressive Style 5

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Aggressive Style 5

昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

今日の問題(5):プログラマーや高校生の暇つぶしにおすすめの一問 (2009年広島大学後期より)

今日はTwitter「数学問題bot(@mathematics_bot)」さんから拝借しました。以下俺の数学のど自慢につき合って下さい。本問はif文の分岐に苦しむプログラマーさんのみなさんから、受験に苦しむ高校生、授業が暇で数学で暇を潰したい高校生まで幅広く楽しめるはず。高校2年生以上かつ20分位の暇がある人はどうぞ。解答に不備がある場合は、是非是非ご連絡を。

xy平面上の直線L y=ax+bと原点を中心とする半径1の円Cを考える。LとCが領域x≧0で少なくとも一つの共有点を持つためにa,bが満たすべき条件を求め、その条件を満たす点(a,b)をab平面上に図示せよ。(09広島後期・理)
























解答

x^2+y^2=1 [1],y=ax+b [2] とし、点P(0,b)を定める。[1][2]より、x^2+(ax+b)^2 = 1 <=> (a^2+1)x^2 + 2abx + (b^2 - 1 ) = 0 -[3] この解をα,βとして、解と係数の関係よりα+β = -2ab/(a^2+1), αβ = (b^2 - 1)/(a^2+1) -[4]

ここで、点Pが円Cの内外のどの位置にあるかで場合分けする。

(i):Pが円Cの外にあり、|b|>1のとき、[1]と[2]が少なくとも一点で交わる為には,α>0 かつ β>0が必要。α>0 かつ β>0 <=> α+β > 0 かつ αβ > 0 <=> -2ab/(a^2+1)>0 かつ (b^2 - 1)/(a^2+1) >0 ∴「a<0 かつ b>1」 または「a>0かつb<-1」

(ii):Pが円Cの内側にあり|b|<1のとき、[4]よりb^2-1 < 0が成立するのでαβ<0(∵a^2+1>0)より、αとβは異符号よりつねに[1]と[2]は少なくとも一点で交わる。∴「-1(iii):Pが(0,1)又は(0,-1)にあり、|b|=1のときx=0で[1]と交わっているので条件を満たす。以上より以下の図のようになる。境界はb=1またはb=-1のみ含む。(軸のラベルがy->b,x->aだと思ってみてみて下さい)



感想

終始円と直線の交点(のx座標つまり、解の位置に着目して議論しました。この問題の魅力的な点は、円と直線だけで解答者に問題の切り分け方を提示している点ですね。最初円に直線を引いて色々実験してみた方も多いと思いますが、自分の着想を数式など別の物に置き換えて説明する練習にもうってつけですよね。

統計を扱うジャンルでしきい値事に場合分けしたり、実験の結果などを状況毎に切り分けて論じる事も良くある事ですよね。常に複数のケースを想定して物事を考えるようにという出題者のメッセージを感じさせます。

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