Aggressive Style 5

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Aggressive Style 5

昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

今日の問題(4):極限の公式と微分係数の定義を確認する(高校三年生以上推奨)

今日は微分積分の基本と言うべき極限や微分係数の定義を使い、微分積分の公式を証明してみようと思う。中高一貫校でも無い一般の高校ならば、ようやく数IIIが終わった所で今頃微分積分の練習に明け暮れている頃のように思う。

微分積分の計算の勉強をしているとどうしても忘れがちなのは、微分係数の定義や区分求積法など微分積分の成り立ちについてだ。これらは勉強し忘れやすい箇所で、筆者も実際の入試で区分求積法から積分するような問題が出題されて困惑したことがあった。そこで今日はそこで阪大の問題を利用し、微分の定義について復習して行く。

問題
引用:阪大理系 2013前期 http://p.tl/l0Kj



\lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} = 1の証明

この証明は厳密な証明もあるようだ(リンク参照)が、高校範囲では、図のような図形を使って証明をすすめていく事が多い。このように図形の角度や面積などをある値に収束させたとき、どのような結果となるかを調べるのに極限は使われる。


図において扇型OABの面積をSとすると、△OAB
\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x

<=>\sin x < x < \tan x -(I)

(i):x>0のとき、(I)=>1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}
逆数をとって、\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1
よって\lim_{x \to +0}(\cos x) = 1,\lim_{x \to +0}1 = 1よりは
さみうちの原理より、\lim_{x \to +0}{\frac{\sin x}{x}}{ = 1
(ii):x<0のときt=-x<=>x=-tとして、
\lim_{x \to -0}{\frac{\sin x}{x}}=  \lim_{t \to +0}{\frac{\sin (-t)}{(-t)}} = \lim_{t \to +0}{\frac{\sin t}{t}} = 1
以上(i)(ii)より、\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 q.e.d


(\sin x)'=\cos xの証明
微分係数の定義\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}より、

\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}

=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x (\cos h -1)}{h}+\cos x \frac{\sin h}{h}

={0+\cos x} = \cos x q.e.d

解答の参考にしたWebサイト
過去記事