Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

今日の問題(2):中点を結ぶ四辺形の面積を求める(中学3年生以上推奨)

参考:東大理科 1964前期[東京大学 数学入試問題過去問 53年分(一部解答例付き)]:http://p.tl/L-pD

高校数学と言えばどの分野も計算が厄介だったはず。特に積分などは分数と三角関数を一緒くたに処理せねばならず、非常に大変だった記憶がある。さて今日は問題を解く手順は簡単でも、計算の難しい問題を紹介したい。筆者は2回計算し、2回分数の計算を間違えてしまった。中学生3年生以上の読者のみなさんは、自分並に計算を間違えない事を願っている。

問題



4点A1(0,0),A2(1,0),A3(2,2),A4(0,2)を頂点とする四辺形がある.この平面上に4点P1,P2,P3,P4をとって,点P1はP4A4の中点,点P2はP1A1の中点,点P3はP2A2の中点,点P4はP3A3の中点となるようにする.4点P1,P2,P3,P4の座標及び四辺形P1P2P3P4の面積を求めよ.

















解答

中点の計算につきものの\frac{1}{2}。さすがに4回も繰り返されれれば凶悪と言わざるを得ない。ベクトルを使って見通しを立てようとしても、同じこととなるであろう。

P1はP4A4の中点よりP1(\frac{p_4}{2},1+\frac{q_4}{2}),同様にP2(\frac{p_1}{2},\frac{q_1}{2}),
P3(\frac{p_2}{2}+1,\frac{q_2}{2}+1),P4(\frac{p_3}{2}+1,\frac{q_3}{2}+1)。これより,P2,P3,P4をp4,q4で表すと,P2(\frac{p_4}{4},\frac{1}{2}+\frac{q_4}{4}),
P3(\frac{p_4}{8}+\frac{1}{2},\frac{1}{4}+\frac{q_4}{8}),P4(\frac{p_4}{16}+\frac{5}{4},\frac{q_4}{16}+\frac{9}{8})

ここでp_4 = \frac{p_4}{16}+\frac{5}{4},q_4 = \frac{q_4}{16}+\frac{9}{8}より,
(p_4,q_4)=(\frac{4}{3},\frac{6}{5})。これよりP4(\frac{4}{3},\frac{6}{5}),P1(\frac{2}{3},\frac{8}{5}),P2(\frac{1}{3},\frac{4}{5}),P3(\frac{2}{3},\frac{2}{5})

以上より右図のように等積変形を行い、(求める面積)=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{6}{5} =\frac{3}{5}(答)

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