Aggressive Style 5

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Aggressive Style 5

昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

今日の問題(1):中学生にでもできる連立方程式の問題(中学3年生以上対象)

参考:東大理科 1964前期[東京大学 数学入試問題過去問 53年分(一部解答例付き)]:http://p.tl/L-pD

問題(東京大学1964年前期(1)を改題)



a,bを相異なる数、x,y連立方程式 x+ay = a^2,x+by = b^2の解(根)とするとき、a^2 + b^2x,yを用いて表せ。
















解答1(そのまま計算)

原題は「東大理科 1964前期[東京大学 数学入試問題過去問 53年分(一部解答例付き)]」より。原題は三元一次方程式だが、問題で使う恒等式を知らない人もいると思い、式の数を減らして出題。

この問題。普通に計算しx,yを求める事も可能だ。ただ「a,bを相異なる数」と注意書きにあるように0で割っていないかの確認をきちんと行うように(中学校はこういう事を教えないからなあ)。

x+ay = a^2 -(i),x+by = b^2 -(ii)
(i)-(ii)より,(a-b)y=a^2-b^2 <=>(a-b)y=(a+b)(a-b) aとbは相異なるのでa-b≠0より、y=a+b -(iii)
(i)(iii)より,x+a(a+b)=a^2x=-ab -(iv)
このとき(iii)(iv)より、a^2+b^2= (a+b)^2-2ab = y^2+2x (答)

解答2(解と係数の関係を使い、問題の見方を変える)

解答2は高校生向けの解答。同じ形の式が複数個登場するとき、方程式の解と係数の関係が使える事が多い。この他

x+ay = a^2 -(i),x+by = b^2 -(ii)
(i) <=> a^2 - ya -x=0

(ii)<=> b^2 - yb -x=0

よりa,btの二次方程式 t^2-yt-x=0の2解となる。ここで解と係数の関係から、a+b = y,ab=-x-(iii)。よって(iii)よりa^2+b^2= (a+b)^2-2ab = y^2+2x (答)

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