Aggressive Style 5

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Aggressive Style 5

昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

整数問題:不定方程式の解を求める(2005年京都大学理系大問4より)

ここの所幾何の問題が多かったので、本日は傾向を変えて京都大学から整数の問題を持ってくることにした。

問題



a^3-b^3=217を満たす整数(a,b)の組を求めよ。
















解答

本問は掛け算の積に分解して考える不定方程式の問題だ。約数の情報などから解の可能性を絞り込んでいくわけだが、絞り込む過程や根拠をきちんと説明(論証)することが肝心である。又、「京大理系前期4番問題:青空学園数学科」さんの解答をみてみると、解に至る根拠が綺麗に論述されているのでこちらも紹介したい。

a^3-b^3=217 <=> (a-b)(a^2+ab+b^2) = 7*31 -(1) ここでm,nをmn=217を満たす217の約数として、a-b=m -(2) a^2+ab+b^2=n -(3)とおく。

(2) <=> a=b+m となり(3)に代入して、(b+m)^2+(b+m)b+b^2=n <=> 3b^2+3mb+(m^2-n)=0よりこの判別式をDとして、b= \frac{-3m \pm \sqrt{D}}{6} -(4)。又D = 9m^2 -4*3(m^2^- n) = 3(4n-m^2) -(5)

ここで(2)(3)よりm,nは同符号であることが必要であるが、m<0かつn<0のとき(5)よりD<0となり、(4)が実数解をもたないので不適。このことからm>0かつn>0が必要で、(m,n)=(1,217),(7,31),(31,7),(217,1)のいずれかの場合に限られる。

  • (i):(m,n)=(1,217)のとき(2)(4)(5)より、D=3*(4*217-1)=3^2*17~2,b=-9,8となるので(a,b)=(-8,-9),(9,8)が見つかる。
  • (ii):(m,n)=(7,31)のとき(2)(4)(5)より、D=3*(4*31-49)=5^2*3~2,b=-6,-1となるので(a,b)=(1,-6),(6,-1)が見つかる。
  • (iii):(m,n)=(31,7)のとき(5)より、D=3*(4*7-31^2)=-3*933<0より(4)が実数解を持たないので不適。
  • (iv):(m,n)=(217,1)のとき(5)より、D=3*(4*1-217^2)<0より(4)が実数解を持たないので不適。

以上より(a,b)=(-8,-9),(9,8),(1,-6),(6,-1)(答)

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