Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

半径1の円に内接する六芒星(Hexagram)の面積を求める

今日は半径1の円に内接する六芒星(Hexagram)の面積の求める問題の出題です。六芒星をどのように分解して、面積を求めていけるかが肝心となります。綺麗な答えが出てくるので必見です。
以下は教えてgoo!の質問以外の方法で解いてみました。

問題

右図のように半径1の円に正三角形A1A5A9、正三角形A3A7A11が内接している。A3A11 // A5A9 のとき、右図の黄色部分の面積を求めよ。注):右図の黄色部分を六芒星と呼ぶことがある。



解答




まず正三角形A3A7A11において、△OA7A11 = 1/2 * 1 * 1 * sin120°= √3/4。△OA3A11と△OA3A7に対しても同様にすることで、(緑の部分の面積) = △A3A7A11 = 3 * △OA7A11 = 3√3/4。
A3A11 // A5A9 より、∠A3A11A8 = 60°、正三角形A1A9A5においても∠A1A9A5=60°より△A8A9A10は正三角形で同様に、△A1A2A12、△A4A5A6も正三角形。

ここで図のように垂線の足Hをとると、線分A7A11は円Oの弦より△OA7Hは60°の直角三角形となる。このことから、A9H = 1/2、A8H = 1/√3 * A9H = 1/2√3 。∴△A8A9A10 = 2 * △A8A9H = 2 * 1/2 * A8H * A9H = 1/4√3。△A1A2A12と△A4A5A6に対しても同様にすることで、(赤の部分の面積) = 3 * △A8A9A10 = √3/4。
以上より(緑の部分の面積)+(赤の部分の面積)= 3√3/4 + √3/4 = √3(答)

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