Aggressive Style 5

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直角三角形と弧に接する円の半径を求める(算額を参考)

ネタが進まないので、今日は算額のサイトから図を拝借して問題作成した物を掲載します。算額(さんがく)とは、江戸時代の日本で、額や絵馬に数学の問題や解法を記して、神社や仏閣に奉納したものです。

確か群○県の神社のものだった記憶がありますが、分かる方は連絡下さると嬉しいです。又問題や解答の誤りがありましたらご一報ください。

問題

BC=3,CA=4,AB=5の∠C=90°の直角三角形がある。Bを中心に半径3の弧とABとの交点をP1とする。さらに弧P1C、辺AC、辺ABに接する円Oを描くとき、円Oの半径の長さrを求めよ。

解答

直角三角形や円の問題で、長方形を作るように補助線を引き、辺の情報を移動させるという典型的な手法を使っていきます。簡単な図でありながらも、問題を易しく分割したりするのが難しいです。筆者はピタゴラスの定理を思いつくまでに時間がかかりました。

図のようにBとOを結び、H4O//OAとなるように補助線と垂線の足H1,H2,H3を引く。△AP2H1と△P2OH3において、P2H4 // OAより、∠P2AH1 = ∠H3P2O, ∠AH1P2 = ∠P2H3O = 90°より、∠AP2H1 = ∠P2OH3 又P2H1 = OH3 = rより二辺夾角相当から△AP2H1≡△P2OH3 -(i)

P2H1 // BOより、△AP2H1∽△ABCより△AP2H1は「3:4:5型」の直角三角形となり、AH1 = 4r/3,AP2 = 5r/3。(i)よりAP2 = P2O = 5r/3。よってH4O = OA - AH1 -H1H2 = 4-3r,BO = (3+r),BH4=(3-r)より△BH4Oに対しピタゴラスの定理より、(3-r)^2 + (4-3r)^2 = (3+r)^2 ∴r=2±√20/3

但しr=2+√20/3のとき、BH4= 3-(2+√20/3) = 1 - √20/3 < 0より不適。以上より、r=2-2√5/3(答)

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