Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

3桁の正の整数に関する問題

3桁の正の整数m,nがあり,mとnがちょうど一つの桁の数字が異なる.またnはmの倍数である.考えられる(m,n)は何通りあるか?(2010 JJMO予選 大問4より)

なかなか手ごわい問題だと思う。

解1:Excelを使う方法

[答:22通り]

まずこのようにexcelを使い,201/101のように100の位のみが違うものを総当たりで計算させたら22通りみつかる.10,1の位は2倍するとn>200となり,かつすべての桁が動いてしまうので調べない。この時割り算を実行した回数=(8+7+6+5+4+3+2+1)*100 =3600回程計算したこととなる。尚mが3桁であるために[n/m]>2のとき,m<500である必要がある.これを考慮して計算させると,割り算を実行した回数=(4+3+2+1)*100=1000回と2600回も減らす事ができる.このように整数問題を人間で解くとき,如何に理詰めで計算回数を減らせるかがカギとなる.以下はその一例を紹介したい.

人力解答を行う

まず0*1……0*9においては計算結果は0となり,「桁の移動」は起こらない。ここで「桁の移動」が起こるとは、3*6=18のようにかけられる数と積の各桁とも同じ数字が現れないことを表す.ここで1*1,…..9*9において「桁の移動」が起こらない組は2*6,4*6,*5*3,5*5,6*6,8*6のいずれかとなる.ここで1の位が偶数のとき,1の位の移動が起こらないための条件は,n=6m。つまりmを6倍する必要がある。このとき[100/6]=166より,100

(I)1の位が8のとき,10の位は1or2 ∴118*6=708,128*6=768より2桁変わるので不適.
(II)1の位が6のとき,10の位は1or2or3 ∴116*6=696,126*6=756,136*6=816 より不適.
(III)1の位が4のとき10の位は1or2or3or4
∴114*6=684,124*6=744,134*6=804,144*6=864より不適

(IV)1の位が2のとき,10の位は1or2or3or4or5
 ∴112*6=672,122*6=742,132*6=802,142*6=862,152*6=862,162*6=922より不適.

(V)1の位が5のとき(i)n=3m又は(ii)n=5m (iii)n=7mであれば良い.
(i)n=3mのとき,100