Aggressive Style 5

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簡単な連立方程式の問題




この問題の背景

連立方程式と言えば、加減法や代入法を思い浮かべる方が多いはず。もちろんその方法でお上手くいくが...と「教科書に載ってるような問題だが、計算のやり方を工夫するかしないか」勝負の分かれ目となる。

解答1(前置き)

解答1は89年の東大の問題のやり方を応用するもの(下の東大の問題を参考にこの問題を作った。)




この問題のあらすじは、二つの関数の交点なので連立方程式を使って...という話だ。このとき文字や係数が入れ替わっただけの連立方程式なのでx+y,x-yを上手く作ってやって解く点がポイント。この問題でも同じように入れ替わり型なので、x+y,x-yを作ってやる事で解決してみる。

解答1(説明)

上,下の式を(i)(ii)とする。

(i)+(ii)より98(x+y)=196 ∴x+y=2 -(iii)

(i)-(ii)より96(x-y)=204 ∴x-y=17/8 -(iv)

(iii)+(iv)より 2x=33/8 ∴x=33/16

(iii)-(iv)より 2y=-1/8 ∴y=-1/16 (x,y)=(33/16,-1/16)(答)

解答2

普通に代入法や加減法を用いたもの。ただ途中の計算でひと工夫してみた。

上,下の式を(i)(ii)とする。

(ii)*97より97x+9409y=-388 -(iii)

(iii)-(i)より,9408y=-588 ∴y=\frac{-588}{9408}

ここで、分子と分母を素因数分解するとy=-\frac{2^2*3*7^2}{2^6*3*7^2}=-\frac{1}{16}

(i)よりx=\frac{33}{16},よって(x,y)=(33/16,-1/16)(答)

本問では素因数分解を用いて約分を行った。このとき、分子と分母の最大公約数でそれぞれを割ると綺麗に約分できる。つまり約分とは「分数を分子と分母の最大公約数でそれぞれを割り、綺麗にする作業」と言うことができる。

解答のまとめ

ここまでをまとめると、

  • 簡単な問題でも計算を工夫する場合がある。
  • 係数入れ替わり型又はx+y,x-yが作りやすいとき=>x+y,x-yを作る
  • 分数の約分に困ったら、素因数分解が便利!

おまけ(1993年 文系の(1)より)

さて「教科書に載ってるような問題だが、計算のやり方を工夫させる」違う事例を紹介したい。例えば93年の文系の(1)を見てみよう。




この問題の問題のあらすじは、極大値と極小値を求めるあたりは教科書と同じだ。しかしf'(x)=\frac{dy}{dx}=3x^2-4x-3となる。しかしf'(x)=0を解くと√が出て、当然元の式に代入しようとするとかなりの苦戦が強いられる。本問のように、この工夫するかしないかそうでないかが勝負の分かれ目となる。