Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

(2)が難しい問題(2010 名古屋大学理系 大問4)

またk塾から問題を盗んできました.(2)が難し目です.




解答

(2)は通る2点からa,bに対する連立方程式を導出できるかが勝負の分かれ目ですよね.どうやら「通る2点」の下りは下のアンダーラインに持って行くための誘導だったようです.

(1):kを整数として,x=6kとすればy=12k^2+3k でyも整数.このときすべての整数kにおいてx,yは整数となるので,格子点は無数に存在する(証明終)

m,n,u,vを整数として,問題の放物線が原点以外の(m,n),(u,v)を通るとすると,n=am^2+bm,v=au^2+buとなり(a,b)=(nu-mv/(m^2u-mu^2),-nu^2-m^2v/(m^2u-mu^2))よりa,bの分母は等しい値をとる.よってp,q,rは整数(p≠0)とすると,a=q/p,b=r/pとおける.よって(1)と同様にx=pkとおけばy=pqk^2+rkとなり格子点は無数に存在する.

おまけ

格子点と言って思い出したのですが,画像ファイルのピクセルの座標値も格子点です(x,yとともに整数値としか取りえないので).格子点(離散)なので,微分などの処理が難しいという弱点もあります.あとこの問題は原点を通る2次関数において、格子点の登場の仕方に規則性があるということも分かります.

本問の意図とは異なりますが.関数において格子点が規則的に出現するもの言えば,暗号などに使われる楕円関数y^2=x^3+ax+bにおける加算が思い出されます.楕円関数の加算については(「PS3はやはりすごい!?楕円曲線の計算をもこなすその姿」)をご覧ください.