Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

複素数の積に関する整数問題(中学3年生以上対象)

学校に置かれてた過去問を解いてみた。非常に勉強になる問題なので紹介したい。

原題

あくまで原題で解きたいという中学生へ。wikipedia複素数の部分を読みながら問題を解いて欲しい。覚えるのが面倒と言う場合。複素数の知識を用いなくてもできるように問題を改題した。根本的に問われている部分はいじってないので是非ともやってみて欲しい。

上級者向け

初心者向け


解答

上級者向け,初心者向けで解いた場合。同じような箇所を探しながら読んで下さい。


原題の特徴は複素数の絶対値を誘導に用いることで,上手く(a^2+b^2)(c^2+d^2)を導かせることにある。逆に改題のような聞き方だと二乗する方法が思いつきにくいかも。

なるべく誘導に沿った解答の書き方をしてみた。最初からa^2+b^2の組み合わせが3通りであることに気づいていれば(b)(c)はもうちょっと楽かも...。試験時間が100分であること考えると20-25分位で片づけるのがベストか?

付録

複素数(初めて、確認用に)

-1,0,1などの整数。4/5,0.8などの有理数sqrt{2},πなどの無理数を合わせて実数と呼ぶことにする。二次方程式x^2-2x+2=0を解の公式(リンク先のQuadratic formula参照)を使って実数の範囲で解くとき,x=1 \pm sqrt{-1}となってしまう。このとき、ルートの中身は正の数でなくてはならないので実数の範囲で解くことはできない。
そこで二乗して-1となるような新しい数iを導入すると上の二次方程式x=1 \pm iと解く事ができる。このように、二乗して-1となるような数i虚数と呼ぶ。さらにa,bを実数とするときa+biと表せる数を複素数と呼ぶ。

複素数の計算

和:(1+i)+(1-i)=2,
差:(1+i)-(1-i)=2i,
積:(1+i)(1-i)=1-i^2=1-(-1)=2
商:\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i)^2}{2}=\frac{2i}{2}=i

iを二乗すると-1になることに注意すれば普通の計算と同じ。

複素数の相等

a+bi = c+diならばa=c,b=dが成立する。

:(1-a)+bi = 2+4iの場合。左辺と右辺を見比べて(a,b)=(-1,4)となる。このように同じ部分同士を見比べて考えることができるのを上の公式は言っている。