Aggressive Style 5

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昨今はコミケ関係を中心に書いています。同人やニコニコ動画方面で活躍される方の相互リンクをお待ちしています。

xy平面上の直線にかんする整数問題(中学2年生以上推奨)



答え

1.

(i)においてap=cp=\frac{c}{a}(∵aは正の整数)より,pが正の整数となるにはcはaを約数にもつことが必要.

同じくq=\frac{c}{b} より,bはaを約数にもつことが必要.

これらをあわせて,cはabを約数にもつ.(証明終わり)

2.

1.よりcはabを約数にもつので正の整数kを用いて,c=kabとおける.このときkはc.つまり9の約数となるのでk=1,3,9が考えられる.

  1. k=1<=>ab=9のとき(a,b)=(1,9),(3,3),(9,1)の3通り.
  2. k=3<=>ab=3のとき(a,b)=(1,3),(3,1)の2通り.
  3. k=9<=>ab=1のとき(a,b)=(1,1)の1通り

1,2,3より3+2+1=6通り

3.

方程式を作って...という方法はあまりできそうにない。そこで比較的小さいnを代入して"実験"していくことになる.このとき2.を上手く使うと楽になるか?...

解答

2.よりc=3^2.つまりn=2における(a,b)の組の個数が6個であることを示している.ここでn=3とするとc=3^3となる.このとき「(a,b)の組の個数=n=2における(a,b)の組の個数+27の約数の個数」となる.27=3^3よりその約数の個数は(3+1)=4個となる.(※)より(a,b)の組の個数は6+4=10個となる.一方nが4以上だと10個以上となるので不適.よってn=3.